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Valeur attendue d'une distribution binomiale

Valeur attendue d'une distribution binomiale

Les distributions binomiales constituent une classe importante de distributions de probabilités discrètes. Ces types de distributions sont une série de n essais indépendants de Bernoulli, chacun ayant une probabilité constante p de succès. Comme pour toute distribution de probabilité, nous voudrions savoir quelle est sa moyenne ou centre. Pour cela, nous demandons vraiment: "Quelle est la valeur attendue de la distribution binomiale?"

Intuition contre preuve

Si nous réfléchissons bien à une distribution binomiale, il n’est pas difficile de déterminer que la valeur attendue de ce type de distribution de probabilité est np. Pour quelques exemples rapides, considérons ce qui suit:

  • Si nous jetons 100 pièces, et X est le nombre de têtes, la valeur attendue de X est 50 = (1/2) 100.
  • Si nous passons un test à choix multiples avec 20 questions et que chaque question a quatre choix (dont un seul est correct), alors deviner au hasard signifierait que nous nous attendrions à obtenir seulement (1/4) 20 = 5 questions correctes.

Dans ces deux exemples, nous voyons queE X = n p. Deux cas sont à peine suffisants pour parvenir à une conclusion. Bien que l'intuition soit un bon outil pour nous guider, il ne suffit pas de former un argument mathématique et de prouver que quelque chose est vrai. Comment pouvons-nous prouver définitivement que la valeur attendue de cette distribution est bien np?

A partir de la définition de la valeur attendue et de la fonction de masse de probabilité pour la distribution binomiale de n essais de probabilité de succès p, nous pouvons démontrer que notre intuition correspond aux fruits de la rigueur mathématique. Nous devons être assez prudents dans notre travail et agiles dans nos manipulations du coefficient binomial donné par la formule des combinaisons.

Nous commençons par utiliser la formule:

E X = Σ x = 0n x C (n, x) pX(1-p)n - x.

Puisque chaque terme de la somme est multiplié par X, la valeur du terme correspondant à x = 0 sera 0, et nous pourrons écrire:

E X = Σ x = 1n x C (n, x) p X (1 - p) n - x .

En manipulant les factorielles impliquées dans l'expression de C (n, x) nous pouvons réécrire

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Ceci est vrai parce que:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / (x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Il s'ensuit que:

E X = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) p X (1 - p) n - x .

Nous factorisons le n et une p de l'expression ci-dessus:

E X = np x = 1n C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .

Un changement de variables r = x - 1 nous donne:

E X = np r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .

Par la formule binomiale, (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r la sommation ci-dessus peut être réécrite:

E X = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.

L'argument ci-dessus nous a fait beaucoup de chemin. En commençant seulement par la définition de la valeur attendue et de la fonction de probabilité de masse pour une distribution binomiale, nous avons prouvé ce que notre intuition nous avait dit. La valeur attendue de la distribution binomiale B (n, p) est n p.